$A$ adalah matriks asli.
$P$ adalah matriks yang terdiri dari vektor-vektor eigen matriks $A$.
$D$ adalah matriks diagonal yang berisi nilai-nilai eigen $A$.
<aside> 💡
Fungsi Nilai Eigen Nilai eigen $(λ)$ menggambarkan seberapa besar sebuah vektor diperbesar atau diperkecil saat terkena transformasi linier.
Fungsi Vektor Eigen Vektor eigen $(\mathbf{x})$ menunjukkan arah yang tidak berubah oleh transformasi tersebut.
</aside>
<aside> 💡
Diagonalisasi adalah proses yang dilakukan pada sebuah matriks yang memiliki cukup banyak vektor eigen yang linear independen untuk membentuk matriks $P$.
Versi 1
Matriks persegi $A$ dapat didiagonalkan jika $P$ adalah matriks yang mempunyai inverse sedemikian hingga
$A = P D P^{-1} \rightarrow P^{-1}AP = D$
Di mana
$A$ adalah matriks asli.
$P$ adalah matriks yang terdiri dari vektor-vektor eigen matriks $A$.
$D$ adalah matriks diagonal yang berisi nilai-nilai eigen $A$.
Versi 2
Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat basis dari $\mathbb{R}^n$ yang terdiri atas vektor-vektor eigen bebas linier dari $A$
</aside>
<aside> 💡
Masalah vektor eigen
Diberikan matriks $A_{n \times n}$, apakah terdapat basis di $R^n$ terdiri atas vektor-vektor eigen dari $A$?
</aside>
<aside> 💡
Masalah diagonalisasi
Diberikan matriks $A_{n \times n}$, apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse $P$ sedemikian hingga $P^{-1}AP$ adalah matriks diagonal?
</aside>
Setiap $n$ vektor yang saling bebas linier di $R^n$ merupakan basis $R^n$ sehingga matriks $P$ yang berisi $n$ vektor memiliki invers.
<aside> 📌
Jika $v_1, v_2, \dots ,v_k$ adalah vektor-vektor eigen dari $A$ yang berpadanan dengan nilai-nilai eigen yang berbeda $λ_1, λ_2, \dots, λ_k$, maka ${ v_1, v_2, \dots,v_k }$ adalah himpunan bebas linier.
Teorema diatas mengakibatkan
Jika matriks $A_{n \times n}$ mempunyai $n$ nilai eigen yang berbeda-beda, maka $A$ dapat didiagonalkan.
Misal nilai Eigen $A_{7 \times 7}$ adalah $3, -1,$ dan $9$ serta persamaan karakteristiknya $(\lambda - 3)^3(\lambda+1)(\lambda - 9)^4$ , apakah dapat didiagonalkan?
$(\lambda - 1)^3 = 0 \begin{cases} A, & { mg = 1} \ \{[ \ ] \} \\ B, & {mg = 2} \ \{[ \ ], [ \ ] \} \\ C, & {A \ diagonal, mg = 3} \{[ \ ], [ \ ], [ \ ] \} \end{cases}$
Dapat didiagonalkan
| $\lambda$ | 3 | -1 | 9 |
|---|---|---|---|
| $ma$ | 3 | 1 | 4 |
| $mg$ | 3 | 1 | 4 |
Tidak dapat didiagonalkan
| $\lambda$ | 3 | -1 | 9 |
|---|---|---|---|
| $ma$ | 3 | 1 | 4 |
| $mg$ | 4 | 0 | 4 |
Untuk dapat didiagonalkan $ma$ harus sama dengan $mg$.
</aside>